1981年，現任職於普林斯頓大學的理論物理學家伊萬德·波利亞科夫(Polyakov)瞥見了量子理論的未來。從弦的擺動到夸克與質子的結合，一系列的謎團都需要新的數學工具，而他能看出來這個工具的輪廓。
他在《物理學通訊》B刊上的一封現在名滿江湖的四頁信的導言中寫道："目前，我們必須開發一種處理隨機表面上的和的藝術。"
波利亞科夫的建議被證明是強有力的。在他的論文中，他勾勒出一個公式，大致描述了如何計算一種瘋狂混亂的表面類型的平均值，即"劉維爾Liouville場"。他的工作將物理學家帶入了一個新的數學領域，這對於解開被稱為弦的理論物體的行為和建立簡化的量子引力模型是至關重要的。
多年的努力使波利亞科夫為物理學中的其他理論找到了突破性的解決方案，但他從未完全理解劉維爾場背後的數學原理。
在過去的7年裡，一群數學家完成了物理學家認為不可能的事情。在分為三部曲的里程碑式的著作中，他們用完全嚴格的數學語言重塑了波利亞科夫的公式，並證明了劉維爾場完美地模擬了波利亞科夫所要考察的現象。
法國國家科學研究中心的數學家文森特·巴爾加斯說："我們花了40年的數學時間才把波利亞科夫的四頁紙弄明白。"他與艾克斯·馬賽大學的雷米·羅茲、赫爾辛基大學的安蒂·庫皮亞寧、法國國家科學研究中心的弗朗索瓦·大衛和巴黎薩克雷大學的科林·吉拉穆是這項研究的共同作者。
三篇論文在質樸的數學世界和混亂的物理學現實之間架起了一座橋樑——藉助概率理論研究上的最新突破而做到這一點。這項工作還觸及了在基礎物理學的主要理論中占據中心位置的對象——量子場——的哲學問題。
賓夕法尼亞大學的數學家孫昕(音)說："這是數學物理學的傑作。
無限的場
在今天的物理學中，最成功的理論的主角就是場--充滿空間的物體，在不同的地方具有不同的值。
以地球的磁場為例。羅盤指針的轉動揭示了磁場在地球上每一點的影響(強度和方向)。
然而，由於量子理論的深度隨機性，這裡的情況更為複雜。從量子的角度來看，地球並沒有產生一個磁場，而是有無數個不同的磁場。有些看起來幾乎和我們在經典物理學中觀察到的磁場一樣，但其他的則大不相同。
但物理學家仍然想做出預測——在這種情況下將量子場的無限形式同化為一個單一的"量子場論"或QFT，是艱巨的任務。這是一個關於一個或多個量子場的模型，每個量子場都有無限的變化，理論需要刻畫它們如何存在和相互作用。
在巨型實驗的支持下，QFT已經成為粒子物理學的基本語言。標準模型就是這樣一個QFT，它將電子等基本粒子描述為從無數電子場中產生的模糊凸起。迄今為止，它已經通過了所有的實驗檢驗。
物理學家們玩弄著許多不同的QFT。有些，如標準模型，渴望建立真實粒子在我們宇宙的四維空間(三個空間維度加一個時間維度)中運動的模型。其他的則描述了奇異宇宙中的奇異粒子，從二維平面到六維超世界。它們與現實的聯繫是遙遠的，但物理學家們研究它們，希望獲得可以帶回到我們自己世界的見解。
波利亞科夫的劉維爾場論Liouville field theory就是這樣一個例子。
劉維爾場基於法國數學家約瑟夫·劉維爾(Joseph Liouville)在19世紀開發的複雜分析方程，描述了一個完全隨機的二維表面。
這樣一個物體可能看起來不像是一個有信息量的物理學模型，但是隨機性並不意味著就沒有內在模式。例如，鐘形曲線告訴我們，在街上隨機經過一個七英尺高的籃球運動員的可能性有多大。同樣，球狀的雲和皺巴巴的海岸線也遵循隨機的模式，但還是有可能辨別出其大規模和小規模特徵之間的一致關係。
劉維爾的理論可以用來識別所有可能的隨機、鋸齒狀表面的無盡景觀中的模式。波利亞科夫意識到這種混亂對於弦論來說是至關重要的，因為弦在運動時會勾勒出一個二維面。該理論也被應用於描述二維世界的量子引力。愛因斯坦把引力定義為時空的曲率，但若把它翻譯成量子場論的語言，就會產生無限多的時空——就像地球產生無限多的磁場一樣。
劉維爾的理論將所有這些表面打包成一個物體。它為物理學家提供了測量隨機二維表面上每個位置的曲率——引力——的工具。
孫昕說："量子引力基本上意味著隨機幾何，因為量子意味著隨機，引力意味著幾何。」
波利亞科夫探索隨機表面世界的第一步是寫下一個表達式，定義找到一個特定星型體的機率，就像鐘形曲線定義遇到一個特定身高的人的機率。但他的公式並沒有帶來有用的數字。
要解決一個量子場理論，就是要能用場來預測觀測結果。在實踐中，這意味著計算一個場的"相關函數"，它通過描述一個點的場與另一個點之間的關聯程度來捕捉場的行為。例如，計算光子場的相關函數，可以得到量子電磁學的麥克斯韋方程。
波利亞科夫追求的是更抽象的東西：隨機表面的本質，類似於使雲成為雲、海岸線成為海岸線的統計關係。他需要劉維爾場雜亂無章之間的關聯性。幾十年來，他嘗試了兩種不同的方法。他開始使用一種叫做費曼路徑積分的技術，最後開發了一種被稱為引導法的變通技術。這兩種方法都以不同的方式出現了問題，直到數學家將它們結合到更精確的表述中。
加起來
你可能已經想到，對一個量子場的無限多種形式進行核算是幾乎不可能的。20世紀40年代，量子物理學先驅理察·費曼(Richard Feynman)為處理這種令人困惑的情況開發了一種工具，但該方法被證明有嚴重的局限性。
再拿地球的磁場來說吧。我們的目標是使用量子場理論來預測某一特定地點的羅盤讀數。為了做到這一點，費曼建議將所有的場的形式加在一起。他認為，你的讀數將代表所有場的可能形式的平均值。將這些具有適當權重的無限場配置相加的程序，被稱為費曼路徑積分。
這是一個優雅的想法，對選定的量子場產生具體答案。在一般情況下，沒有任何已知的數學程序可以有意義地對覆蓋無限廣闊空間的無限數量的量進行平均。路徑積分與其說是一個精確的數學公式，不如說是一種物理學哲學。數學家們質疑它的適用範圍，並對物理學家依賴它的方式感到困擾。
德國波恩大學的數學家Eveliina Peltola說："作為一個數學家，我對沒有定義的東西感到不安。」
物理學家可以利用費曼的路徑積分，為最無聊的場——自由場——計算精確的相關函數，自由場不與其他場甚至與自己相互作用。否則的話，物理學家就必須弄虛作假，假裝這些場是自由的，並加入溫和的相互作用，或"擾動"。這個程序，即微擾理論，為他們得到了標準模型中大多數場的相關函數，因為自然力量恰好是相當微弱的。
但這對波利亞科夫來說並不奏效。儘管他最初猜測劉維爾場可能適合於添加溫和擾動，但他發現它與自身的相互作用太強。與自由場相比，劉維爾場在數學上似乎更難以捉摸，其相關函數無法實現。
揠苗助長
波利亞科夫很快就開始尋找一種解決方法。1984年，他與亞歷山大-貝拉文(Alexander Belavin)和亞歷山大·扎莫洛奇科夫(Alexander Zamolodchikov)合作，開發了一種叫做"自引導階梯"(bootstrap)的技術--一種逐漸通向一個場的相關函數的數學階梯。
要開始攀登這個階梯，你需要一個函數來表達該場中僅有的3個點的測量值之間的相關性。這個"三點相關函數"，加上一些關於該場的粒子所能獲取的能量的額外信息，構成了階梯的最底層。
從這裡，每次爬上一個點。用三點函數來構建四點函數，用四點函數來構建五點函數，以此類推。但是，如果你在三點相關函數開始時，選擇了不合適的點，這個程序就會產生矛盾的結果。
波利亞科夫、貝拉文和扎莫洛奇科夫用自自引導階梯法成功地解決了各種簡單的QFT理論，但就像費曼路徑積分一樣，他們無法使其適用於劉維爾場。
然後在20世紀90年代，物理學家——哈拉爾德·多恩和漢斯·約格·奧托，以及扎莫洛奇科夫和他的兄弟阿列克謝——成功地找到了正確的三點，使之有可能擴展階梯，完全解決了劉維爾場(及其對量子引力的簡單描述)的問題。他們的結果，以其首字母"DOZZ"公式而聞名，讓物理學家能夠做出涉及劉維爾場的任何預測。但物理學家的成功是源於偶然的，而不是通過合理的數學推導。
"他們是猜測公式的天才。"他們蒙對了。
有依據的猜測在物理學中是有用的，但不能滿足數學家的胃口，他們想知道DOZZ公式從何而來。解決劉維爾場的方程式應該來自於對場本身的某種描述，即使沒有人對如何得到它有絲毫的想法。
"在我看來，這就像科幻小說，"庫皮亞寧說，"這永遠不會被任何人證明。"
馴服野生表面
2010年代初，巴爾加斯和庫皮亞寧與概率理論家雷米·羅茲和物理學家弗朗索瓦·戴維聯合起來。他們的目標是把劉維爾場的數學問題解決掉——把波利亞科夫放棄的費曼路徑積分正規化，也許還能揭開DOZZ公式的神秘面紗。
然後，他們意識到一位名叫讓·皮埃爾·卡恩的法國數學家早在幾十年前就發現了波利亞科夫理論的關鍵所在。
"從某種意義上說，在我們之前竟然沒有人給劉維爾場做出嚴格的數學定義，那真是超出想像。所有必要的信息都早已被發掘出來了，就是沒有人去組合到一起。"
整合工作——從2014年到2020年——成就了數學物理學的三篇里程碑式的論文。
他們首先完成了路徑積分，這讓波利亞科夫感到失望，因為劉維爾場與自身有強烈的相互作用，使它與費曼的微擾工具不相容。因此，數學家們利用卡恩的想法，將場重塑為略微溫和的隨機物體，即高斯自由場。高斯自由場中的峰值不會像劉維爾場中的峰值那樣隨機波動到極端，從而使數學家有可能以合理的方式計算出平均數和其他統計結果。
"不知何故，只要使用了高斯自由場，"Peltola說。"從這一點出發，就可以構建理論中的一切。"
2014年，他們公布了他們的結果：改良了波利亞科夫在1981年寫下的公式，但完全是用可信賴的高斯自由場來定義的。這是一個罕見的例子，費曼的路徑積分哲學思想找到了堅實的數學地基。
德國電子同步加速器的物理學家Jörg Teschner說："路徑積分可以存在，確實存在。
有了嚴格定義的路徑積分在手，研究人員就試著看看是否能用它來從劉維爾場獲得答案，並推導出其相關函數。目標是神話般的DOZZ公式。
該團隊花了數年時間研究他們的概率路徑積分，確認它確實具有使自引導階梯法發揮作用所需的所有特徵。他們成功地在2017年和2020年發表了論文。他們從路徑積分中推導出DOZZ和其他相關函數，並表明這些公式與物理學家使用自引導法得出的方程完美一致。
"現在我們完成了，兩邊的公式都是一樣的。"
這項工作解釋了DOZZ公式的起源，並將自引導程序——數學家曾認為它太粗糙——與經過驗證的數學對象聯繫起來。總的來說，它解決了劉維爾場的最後謎團。
"這在某種程度上是一個時代的結束，"Peltola說，"但我希望這也是一些新的、有趣的事情的開始。"
巴爾加斯和合作者現在有了一隻獨角獸，一個強相互作用的QFT以非微擾的方式被一個簡短的數學公式完美地表述了出來，而且還能進行理論預測。
現在，字面上的百萬美元問題是：這些概率方法能走多遠？它們能為所有的QFTs生成整齊的公式嗎？巴爾加斯他堅持認為他們的工具是專門針對劉維爾理論的二維環境的。在更高的維度上，即使是自由場也太不規則了，所以他懷疑概率方法是否能夠處理我們宇宙中引力場的量子行為。
但重鑄波利亞科夫的"萬能鑰匙"就將打開其他的大門。在概率論中已經感受到了它的影響，數學家們現在可以肆無忌憚地揮舞著以前那些可疑的物理學公式。孫昕和他的合作者已經從物理學中引入方程來解決有關隨機曲線的兩個問題。
物理學家們也在等待進一步的實際好處。劉維爾場的嚴格構造可以激勵數學家嘗試證明其他似乎難以解決的QFT——不僅僅是引力的玩具理論，而是直接影響到現實中最深層物理秘密的真實粒子和力量的規律。
理論物理學家Davide Gaiotto說："[數學家]能做到我們甚至無法想像的事情。」