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他是20世紀最偉大數學家之一 但這個人並不存在

布爾巴基部分成員 | 布爾巴基

尼古拉·布爾巴基是20世紀最神秘的「數學家」,「他」師從龐加萊和希爾伯特,一己之力編撰數十卷《數學原本》,卻從未拋頭露面,任憑江湖中飄蕩的流言蜚語。

不以真面目示人的背後,是一眾天才為了挽救衰敗的法國數學界,沉心編撰浩瀚的文書,以記錄當代的知識。聽起來像是阿西莫夫筆下的《基地》,卻是上世紀30年代開始的一段活著的歷史。作為世界上最為知名的馬甲之一,「布爾巴基」時至今日依然散發著神秘色彩。

於衰落中誕生

「布爾巴基教授」的背後,是1935年於巴黎成立的布爾巴基學派。數百年來,法國一直是數學家的搖籃。費馬、笛卡爾、帕斯卡、拉普拉斯、伽羅瓦、泊松、傅立葉……17世紀以來,巴黎皇家科學院逐漸匯聚大量頂級學者。法蘭西數學大放異彩,法國也成為了歐洲的學術中心。

可光輝最終也要走向暗淡。法國最後一名全能數學家,龐加萊,於1912年因病去世。在那之後,法國人所從事的研究方向越來越狹窄,主要集中於單複變函數。此時處於數學前沿的代數數論、李群李代數、微分幾何、泛函分析等分支中,幾乎看不到法國人的身影,法國的年輕一代更是難以接觸到世界數學的前沿。相反他們的鄰居德國人,當時儼然已經成為世界的數學中心。龐加萊之後,只有德國的戴維·希爾伯特一人能挑起數學家領袖的大梁。而第一次世界大戰,讓法國數學又雪上加霜。

20世紀初,國際形勢風雲變幻。在第一次世界大戰中,學生們份份奔向戰場,昔日的頂級學府巴黎高師門可羅雀。到1918年戰爭結束時,已有半數學生永遠無法歸來。這些本可以成為新一代數學家的年輕人,永遠地消散在了歷史的角落。布爾巴基學派的五名創始人,讓·德爾薩特、安德烈·韋伊、亨利·嘉當(注意跟他爹埃利·嘉當區分)、讓·迪厄多內(被稱為布爾巴基的發言人,大多數對外發布都是他做的)、克勞德·謝瓦萊都是上世紀20年代入學巴黎高師的學生。而戰爭中失去的一代人,割裂了那個時代。年輕的法國數學人處在一個前不著村,後不著店的位置。

戴維·希爾伯特 | 維基百科

20世紀初,代數學的興起帶來了一股潮流,由埃米·諾特,阿廷等德國數學家發展起來的理論不斷為其注入新的血液。1930年,范·德·瓦爾登發表了著名的《代數學》,當時布爾巴基創始人之一的迪厄多內正在寫博士論文,後來他在《布爾巴基的事業》一文中談道:

「我還記得范·德·瓦爾登這本書剛出版發賣的那天。那時我對代數無知到那種程度,以至於要是現在我就進不了大學。我急忙跑向這些書,看到這個在我面前打開的新世界我簡直驚呆了。當時我那時已經從高等師範學校畢業,卻不知道什麼是理想(ideal,抽象代數中一種特殊的子環),而且才剛剛知道什麼是群!這就會使你對一個年輕的法國數學家在1930 年知道些什麼有一點概念。」

後來布爾巴基的成員們一致同意模仿范·德·瓦爾登的風格寫書,主要也是受此影響。不過這是後話了。真正促使這幾位當時的無名小輩開始他們永垂青史的工作的,其實是當時陳舊的教材。初出茅廬的他們都在法國各大高校擔任教職,他們講授分析學(微積分,級數等內容)時使用的是30多年前出版的一本書,叫做《分析原理》。這本書包含諸多應用,在教授抽象理論知識的同時,也與科學和工程學緊密聯繫,得到了廣泛好評。但這本教材也存在諸多問題——它的觀點非常陳舊,沒有跟上數學的發展;一些內容的講法也不盡如人意,不滿的老師們往往需要為此重新擬寫講義。韋依和他的老同學們時常聚在一起商量,他們想出一個好主意:由他們幾個人共同撰寫一部分析學教材,並用於他們各自的授課。

布爾巴基將軍 | 維基百科

布爾巴基這個姓,來源於普法戰爭時期法國將領。巴黎高師時期,曾有一名同學以此名號搞惡作劇,稱某教授要來做講座,要求新生必須參加,韋依自傳中寫道:

「戴著假鬍子,發著怪音,他向學生們介紹自己後開始講經典函數論,然後小小地上升到一個故弄玄虛的高度,最後以『布爾巴基定理』結束。這個故事成了傳奇,但更傳奇的是一個學生聲稱他聽懂了整個講座。」

布爾巴基學派就是建立在這樣的惡搞風格之下。除了姓,還需要一個名。一名成員波賽兒的老婆,伊芙蘭(後來成為了韋依的老婆)起了「尼古拉」這個沙皇一般的名字。小團體的形象就這麼定下來了。韋依煞有介事地為其撰寫了一篇簡歷:

「尼古拉·布爾巴基,法國數學家,生於1886年,大學畢業後獲得獎學金,先是去了巴黎,然後到了哥廷根大學,分別師從龐加萊和希爾伯特,1910年完成學位論文答辯。他的學術生涯豐富多彩,合作者無數,名譽扶搖直上。」

引領數學變革

以布爾巴基作為筆名,幾位高師老同學的寫作開始了。1934年,他們組織了第一次非正式會議;1935年則是第一次正式會議。那之後,布爾巴基學派就正式誕生了。他們聚在一起討論,將寫作任務分配下去,一段時間後又回來坐在一起逐句朗讀,一直到每個人都滿意為止,沒有通過的稿子絕不會發表。這是一個極其漫長的過程,充斥著激烈的爭論。比方說迪厄多內堅決要求將拓撲向量空間這一內容放在積分學之前,要是有人反對他就會冒火,以退出相要挾。古德曼的妻子聽說了這件事,表示不相信,布爾巴基成員們便邀請她參加了一次會議。在會中,一名成員故意挑起這個問題,迪厄多內果然暴跳如雷。不過他們的爭論總是會回歸和平,想像這樣奇特的景象:一屋子人爭吵著都要動手了,過了一會又開始和和氣氣地喝茶。君子確實和而不同。
 

布爾巴基成員們在討論 | 布爾巴基

為了寫出精確且完整的教材,他們在寫作過程中不會跳過任何步驟,也不會引用任何語焉不詳的術語。1939年,布爾巴基的第一本書《集合論》(部分章節)出版了。他們把這個系列叫做《數學原本》,以致敬歐幾里得的傳世之作。

不過當時正值二戰,民生凋敝,自然沒有引發多少反響。隨後,德國入侵法國,數學家們紛紛避難,學術活動也大多擱置下來。幸運的是,等到戰爭結束,布爾巴基們又安然無恙地聚集起來。50和60年代,他們陸續不斷地寫作新書。你熟悉的很多數學符號和術語,比如空集符號,單射滿射和雙射等,都是他們在寫作中首次使用的。

布爾巴基的作品站在極為抽象的高度,在泛函分析,交換代數,微分幾何這些前沿學科之間建立起聯繫。這種思想在哲學上稱為結構主義。他們力圖找到數學對象背後最為深刻的關係,並將其表現在作品中——他們也獲得了極大的成功。

特別是他們撰寫的關於李群李代數的著作,其結構之精巧,思想之深邃,簡直可以稱之完美。這部60年代開始陸續發表的巨著象徵了布爾巴基影響力的頂點——韋依,嘉當等人尚未退休,此時又有格羅騰迪克,塞爾等人加入,布爾巴基儼然成為了數學的風向標,而巴黎又回歸了世界的數學中心。迪厄多內就曾表示:「毫不誇張地說,布爾巴基拯救了行將就木的法國數學。」

布爾巴基們還不忘為「布爾巴基教授」補充設定。比如說嘉當寫道:「據傳說,17 世紀克里特島的愛國者在兩兄弟的領導下,與土耳其的侵略者作戰。這兩兄弟是埃曼紐爾及尼古拉·斯考迪里斯,他們的英勇氣概使土耳其人印象深刻,以致土耳其人後來把他們稱為『沃爾巴基』,即 『軍事首領』。尼古拉和埃曼紐爾十分自豪地取了這個榮耀的姓,於是用這個姓傳給子孫後代……從布爾巴基家族的兩個分支的結合誕生出數學家尼古拉·布爾巴基,於是故事在繼續。尼古拉·布爾巴基現在是玻爾塔瓦皇家學院的院士。」

走向衰落

越傳越玄的故事自然受到了質疑,以致於《數學評論》的編輯波阿斯把這一質疑發表在《大英百科全書》上。不過,隨後他們就收到一封來自尼古拉·布爾巴基簽名的措辭尖銳的信,其中義正言辭地表示他「無意允許任何人對他的存在的權利提出質疑」,隨後「尼古拉」開始散布流言,稱數學家波阿斯其實並不存在,而只是《數學評論》的編輯的集體筆名。

不過幽默的風格並不影響治學的嚴謹。說到布爾巴基,自然要談到他們倡導的公理方法。簡單來說,公理方法就是一種抽象——把一個蘋果加一個蘋果等於兩個蘋果,抽象為1+1=2,這樣如果再遇到一個梨加一個梨的問題,就不用再算了。數學中有很多類似的結構,即使直觀看起來大相逕庭的兩樣東西,其背後都可能藏著聯繫。只需要將其背後更加抽象的規律找出來,就能一次性解決很多問題。

但這並不適合所有水平的人:人對於數學的認識,從來都是從具體的例子到抽象的概念。布爾巴基對於他們的作品的定位,只限於一定水平的研究生和數學研究人員。在這些作品中,你找不到來龍去脈,只有從頭到尾的論證。初學者就算能看懂每一步,也會搞不清楚為什麼會這樣定義,也會想不通為什麼要研究這樣的問題。而經驗豐富的數學研究者卻能在其中找到美妙的框架結構,體會到其中的思想。

可是很多人並不能抓住布爾巴基思想的精髓,卻想在別處實踐布爾巴基的「精神」。法國在70年代展開的「新數學」運動,就是這種「嫁接」的後果。一時間,中小學份份開始學習集合論,號稱要將歐幾里得趕出教師。老師和學生苦不堪言。整整一代人受到了這樣揠苗助長的摧殘。

自然,矛盾的焦點指向了布爾巴基學派。社會各界充斥著對公理思想的謾罵,批評他們「為了推廣而推廣」。迪厄多內此時只能無力地發表了《布爾巴基的數學哲學》,為公理的形式主義正名,同時大加批判了數學上的「極左」(邏輯主義)和「極右」(直覺主義)。

可惜的是,這些辯駁早已無法改變布爾巴基逐漸衰落的事實。他們起初為了讓學派保持活力,規定成員到50歲必須退休。而等到新鮮的血液充滿了整個小團體,布爾巴基也如同特修斯之船一樣不復從前。一個數學學派最重要的是思想,但發表的僅僅是一板一眼的文字。這很容易讓外界誤以為布爾巴集的抽象是毫無意義的。自70年代以後,著作發行越來越少,出版社也幾經更替。

可以說,布爾巴基的全盛期,是數學的「大一統」時代。抽象觀念逐漸將分支統一起來,各學科的交流達到了前所未有的高度。但到了20世紀的尾聲,數學已不再是統一思維的天下了。隨著代數曲線、偏微分方程、數學物理、低維拓撲等學科的發展,數學家們的興趣轉向了一個個具體的問題。像偏微分方程,雖然背後是高度抽象的泛函分析,但具體到每一個方程,研究的方法也大相逕庭。布爾巴基的方法到這裡已經行不通了。在布爾巴基日漸老去的身影之上,新一代的數學家解決了莫德爾猜想、費馬大定理、龐加萊猜想等難題,繼續使用代數,拓撲,分析的現代方法,將前沿拓展出去。以範疇論為核心的公理思想為數學家的思維帶來了一次飛躍,而布爾巴基學派正好錯過了這一革命性的思想。

布爾巴基完成了大一統時代交給它的任務,如今各個分支雖說仍暗含關聯,不同方向的數學家卻早已形同陌路。那麼我們肯定要問,對於今天的我們,布爾巴基還存在什麼意義呢?

答案是布爾巴基研討班。研討班這種源於德國的學術會議最終在法國發揚光大,自然是布爾巴基的功勞。自1948年起,每年都會邀請或由內部人員作報告,主題是當年數學的前沿。短短數年,就成為了世界上最舉足輕重的研討班。時至今日,或許巴黎早已不是數學的麥加,布爾巴基的秘密性也不再是數學界關注的焦點,但研討班仍散發著無窮的活力。在視頻網站上,你還能找到他們講演的實錄。每年都有無數數學家受到研討班的啟發,開始一項又一項新的開拓。

去年,布爾巴基發表了他們最新版本的《譜理論》。再往前,是2016年出版了新作《代數拓撲》。風格一脈相承,卻早已沒有昔日風采。距離《數學原本》這一宏偉計劃已經過了大半個世紀,寫作卻看不到盡頭。他們還在一輩接一輩,書寫最為純粹的數學。或許是在等待新的時代,新的統一。

參考材料:

[1]https://www.quantamagazine.org/inside-the-secret-math-society-known-as-nicolas-bourbaki-20201109/

[2]《數學的建築》,布爾巴基等著,胡作玄等譯

責任編輯: 李華   來源:我是科學家iScientist 轉載請註明作者、出處並保持完整。

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