兩位研究者原本想先把證明整理清楚，一場突如其來的爭議卻讓論文提前公開。
9月8日，紐約大學數學家 Tristan Buckmaster公開了三篇流體力學論文，並附帶了一份長達四頁的個人聲明。
這些論文是他與合作者藉助 AI推進研究的成果。按原定計劃，他們本打算再花幾周時間，將機器生成的複雜論證梳理成同行更容易理解的學術文本。但據 Buckmaster敘述，OpenAI在得知他們的進展後表示，其內部模型已經取得了更進一步的突破，並隨即提出了協調發布與論文署名的方案。雙方最終談崩，通話中對方甚至說出了關乎他學術職業生涯的話。
被點名的 OpenAI研究人員 Sébastien Bubeck隨後否認了相關指控，稱自己始終遵循學術規範，並表示會在次日給出更多說明。截至9月8日，關於那幾次關鍵通話的詳細經過主要出自 Buckmaster的單方陳述，尚無公開錄音或完整的溝通記錄可供獨立核實。
一團平穩的流體，會不會變得無法描述？
我們還是先從這次的研究成果說起，矛盾的事稍後再聊。
Buckmaster任教於紐約大學柯朗數學科學研究所，合作者 Levent Alpöge則就職於 Anthropic。兩人的這項合作持續了約一年時間。
儘管 Alpöge供職於商業 AI公司，但 Buckmaster強調，這次合作完全是個人性質，雙方僱主均未正式參與，也沒有簽訂過機構間的協議。他們在研究中同時使用了 Anthropic的 Claude和 OpenAI的工具，相關費用均由 Buckmaster自己的科研經費承擔。
他們關注的是一個能用日常語言描述、卻極難給出嚴格數學證明的問題：一團最初平穩運動的流體，是否可能在有限時間後產生越來越劇烈的變化，以至於描述它的數學解不再保持「光滑」？
這裡的「光滑」，大致意味著流體的變化是連續的，局部的流動速度、旋轉幅度或變化率不會無端出現無法控制的突變。而數學家所說的「爆破」（blow-up），則是指方程中的某些關鍵物理量在有限時間內趨向無窮大，原先光滑的數學描述就此失效。
在數學上，要證明爆破存在，研究者只需構造出一個嚴格成立的反例：即便是從一個完全平滑的初始狀態出發、且外界施加的作用力同樣極其平滑，方程的解依然可能自發演化出奇異性。
此次公開的三篇論文，分別針對不可壓縮多孔介質方程、Boussinesq方程以及三維不可壓縮歐拉方程展開研究，分別涉及流體穿過多孔介質、受浮力驅動的對流，以及忽略黏性的理想流體運動。其中，關於多孔介質的論文還有第三位作者 Matei P.Coiculescu。
這些研究與千禧年七大數學難題之一的 Navier–Stokes方程存在性與光滑性問題緊密相關，但並沒有直接解決它。
兩者的核心差異在於「黏性」。真實流體中的黏性會耗散動能，抑制細小而劇烈的擾動；標準 Navier–Stokes方程包含這種黏性阻尼作用，而歐拉方程則將其忽略。因此，證明一個不帶黏性的理想模型會出現爆破，並不等於在考慮黏性的情況下也能得出相同結論。克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）的官方問題說明也明確指出，歐拉方程雖然極其重要，但並不在百萬美元大獎的懸賞範圍之內。
圖丨相關聲明（來源：Tristan Buckmaster）
AI推進了證明，但人類還得讀懂它
在這次證明中，Buckmaster和 Alpöge沿用的是數學家 Diego Córdoba與 Luis Martínez-Zoroa此前開闢的路線。前人的工作雖然構造出了一些爆破情形，但對外力的光滑程度設下了較多限制。兩人的目標，則是進一步證明：哪怕外力在數學上保持極高的規則性與光滑度，流體內部依然會產生奇異性。
這種區別決定了爆破結論在物理與數學上的含金量。如果施加的外力本身就非常粗糙、充滿跳躍，那麼方程解出現異常也就不足為奇；只有將外力處理得足夠平滑，才能確切說明這種劇烈變化是流體自身動力學演化帶來的內生結果。
按照數學家陶哲軒對這項新工作的解讀，其證明是通過不斷引入越來越細微的流動結構來逐步完成構造的。這就像一場持續加速的接力：較大尺度的流動放大了更細微尺度的擾動；而迅速增強的細小擾動反過來主導運動，又為下一輪更細小的變化創造條件。
圖丨陶哲軒的相關分析（來源：Terrytao）
每一輪級聯變化所耗費的時間越來越短，因此即便經歷無限多輪接力，整體消耗的總時間仍舊是有限的。研究者的任務，就是從數學上嚴格證明這個級聯過程能夠持續運轉下去，確保某些表徵局部旋轉或變化率的物理量最終失去上界，同時整個構造始終嚴格滿足方程，且外力保持平滑。
這項工作的難點在於精準控制每一輪尺度間的相互干擾，保證某一處的微調不會破壞整體的平衡。這涉及極其龐雜的技術性估計和細節推導，也恰恰為 AI的介入提供了空間。陶哲軒指出，沿著這條技術路線確實存在向 Navier–Stokes方程繼續推進的可能性，但眼下仍橫亘著巨大的技術鴻溝。
據 Buckmaster回憶，合作開展後的大部分時間裡進展其實相當緩慢。真正的轉折發生在8月15日，他們終於在 Boussinesq和歐拉方程上獲得了關鍵突破；到了8月22日，相關的論證通過了 Lean的形式化驗證。
Lean是一種互動式定理證明工具。研究者需要將數學命題和推導過程轉換成嚴密的計算機代碼，交由系統逐行檢驗邏輯。這種形式化工具能提供極高的確定性，但人仍需確認一點：計算機所驗證的代碼命題，是否精確對應了論文聲稱解決的真實數學問題。
更重要的是，拿到一份能被機器順利跑通的代碼，並不等於擁有了一篇合格的數學論文。
Buckmaster對最初由大語言模型直接生成的證明文本評價極低。在此後的幾天裡，他們反覆梳理、重寫，試圖還原出清晰的數學直覺與推導脈絡，好讓同行能夠看懂其中的核心思想。整個項目調用了多個模型，其中較晚引入的 Astra模型，按他的說法主要用於輔助文本寫作和論證邏輯審查。
他們原本計劃等文章徹底潤色成熟後，再將論文與形式化驗證代碼一併公開。然而到了9月初，風聲已經走漏。
從一封澄清郵件，到周日的兩次通話
根據 Buckmaster的聲明，9月3日，外界開始流傳「Anthropic解決了一道重大數學難題」的傳言，Alpöge也得知消息已傳到了競爭對手 OpenAI那裡。
Buckmaster隨即致信 OpenAI的一位知名數學家進行澄清。他解釋稱，這是一項獨立的個人研究合作，外界對成果本身已經產生誤讀；論文很快會連同形式化驗證代碼一起發布。他同時強調，自己希望同行首先讀到的是一篇邏輯清晰的數學論證，而非單純的一份機器跑通的驗證報告。
聲明中引用的回覆顯示，對方當天回應稱希望了解一些細節，以免形成不必要的競爭，並主動表示願意為他們提供 OpenAI的算力支持。
Buckmaster原本提議推遲到下周再溝通。但對方先是在9月4日詢問能否當天碰面，隨後又在9月6日再次提議當日通話。最終，在那個星期天下午，Buckmaster與包括 Bubeck在內的兩位 OpenAI研究人員通了兩次電話，Alpöge並未參會。
圖丨Bubeck的回應（來源：X）
以下關於通話的細節，均來自 Buckmaster的公開陳述。
Buckmaster稱，OpenAI方面在電話中告知，他們內部的一個模型已經生成了一份長達約100頁的證明，宣稱解決了帶有光滑外力的 Navier–Stokes方程爆破問題，這一進展比他們現有的成果更深一步。如果該證明完全正確，且滿足克雷數學研究所設定的所有嚴格條件，就可能觸及千禧年難題本身。
雖然 Buckmaster並未親眼看到這份百頁證明，但對方採用的技術路徑卻讓他警覺起來。對方所走的路線，與前人開創、且他們一直在深入推進的思路完全一致。在他看來，選擇這條高度重合的路徑本身就需要合理的解釋，絕非一句簡單的「把題目丟給模型」就能解釋得通。
他表示，隨著追問不斷深入，電話里透露出的細節越來越多：OpenAI內部有一個專門的團隊介入，嘗試過多個不同方向，此前曾先讓模型去攻克包括歐拉方程在內的相對簡單的任務，並為此調集了龐大的算力。而當被問及首次向模型輸入相關提示詞的具體時間時，對方最終確認，正是在得知兩人的研究取得進展之後的這幾天內。
Buckmaster接著詢問，自己長期保存在 Codex環境中的論文草稿，是否被模型調閱或用作了訓練數據。按照他的說法，對方明確否認了模型會主動檢索用戶數據，但對於數據是否被用於後續訓練的問題，對方並未正面回答。
不過這一質疑目前並沒有公開證據支持。Buckmaster在聲明的結尾也坦承，自己並不清楚數據究竟是否被使用過，不知道 OpenAI的模型在後台具體做了什麼，也始終未曾見過那份據稱存在的證明。
下一篇論文的署名，該屬於誰？
雙方的爭執隨即蔓延到了成果的發表機制上。
Buckmaster稱，OpenAI方面當時提出了兩套方案：其一是兩人先發布已完成的歐拉方程論文，OpenAI次日緊接著發布 Navier–Stokes方程的突破；其二是在歐拉論文公開之後，由 Buckmaster單獨執筆撰寫一篇闡述 Navier–Stokes結果的論文，但必須在文內註明該問題是由 OpenAI內部模型解決的。
按照 Buckmaster的說法，Bubeck在通話中兩次明確要求，必須把在 Anthropic工作的 Alpöge排除在後一篇論文的作者名單之外。（需要釐清的是，這裡產生爭議的是擬議中關於 Navier–Stokes的後續新論文署名，並非直接剝奪 Alpöge在現有已完成論文中的作者身份）
這一提議不僅觸及了 Buckmaster與合作者之間的信任關係，更觸碰了學術界的核心議題：前人的奠基、兩人的長期投入、AI協助推導與驗證的貢獻，以及 OpenAI所宣稱的新突破，究竟該如何公正地體現在最終的學術成果中？
Buckmaster當場拒絕了這兩個方案，並明確表態，如果 OpenAI執意按照這種方式發布，他將向公眾完整披露這一過程。
據他回憶，對方隨即反問：「你為什麼要毀掉自己的職業生涯？」他回答說，自己是一名學者，不明白公開事實怎麼就會招致這種後果。隨後，對方又表示，如果他不希望維持友好溝通，那麼他們也可以公事公辦、不再客氣。
通話結束後不久，Alpöge收到了一條建議與 Bubeck單獨通話的私信。Buckmaster稱，信息中還質疑他當時的溝通狀態是否足夠理性。Alpöge拒絕了這一單獨溝通的請求。當晚，Bubeck再次發來郵件希望能安排周一繼續通話，Buckmaster未予回復。
最終，Buckmaster決定不再等待，直接公開了論文、驗證代碼以及個人聲明。那些原本還需要數周時間細緻打磨的草稿，就這樣猝不及防地擺到了學術界同行面前。
Bubeck隨後公開發表回應，否認了針對他的指控，強調自己一貫恪守學術規範；但截至9月8日，他並未就發表方案、署名要求以及通話中的具體措辭作出逐一反駁。而 OpenAI聲稱已經得到的 Navier–Stokes證明，也始終沒有公開供學術界核驗。
與此同時，數學界已經開始著手研讀這批提前公開的材料。陶哲軒與 Buckmaster進行了大約半小時的電話溝通以了解核心思路，並對該研究的實質進展給出了積極評價。不過他也坦承，自己仍需時間來逐步消化其中的細節。在他看來，數學研究的核心價值不僅在於獲知一個命題是否成立，更在於徹底理解它「為什麼成立」，以及這些論證能給人類認知帶來怎樣的啟發。
而這原本也是 Buckmaster和 Alpöge最想做完的事情：將冷冰冰的機器證明，整理至足以供同行閱讀、理解和深入探討的成熟形態。最終，論文被逼倉式地提前端了出來，而解釋它「為何倉促面世」的那四頁聲明，反倒捲起了更大的輿論風浪。
