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宇宙的答案42 這個數字到底有多神奇

在1979年的暢銷科幻小說《銀河系漫遊指南》的最後,超級計算機「深度思考」揭示了「生命、宇宙和一切」的「偉大問題」的答案是「42」。「深度思考」花了整整750萬年來計算這個終極問題的答案。而知道答案後,負責獲得該答案的角色很失望,因為這個答案沒什麼用。

然而「42」的確不同尋常。從歷史到現實,再到數學家研究的難題,「42」都有著它非同尋常的地位。

無處不在的「42」

「42」這個數字可能因為作家道格拉斯·亞當斯的《銀河系漫遊指南》而成為極客文化的一個組成部分。例如,如果你問你的搜尋引擎「所有問題的答案是什麼?」它很可能回答「42」。無論你使用谷歌、Qwant、Wolfram Alpha(專門回答數學問題的網站)還是聊天機器人Web應用Cleverbot,你都會得到相同的答案。

很多與網際網路相關的企業也喜歡「42」,比如計算機培訓機構「42網絡」,它自2013年在法國成立以來,已在全球建立了超過15個校區。而在電影《蜘蛛俠:平行宇宙》中,數字42也以不同的形式出現。在維基百科的詞條「42(數字)」中,你可以找到更多它出現的地方。

數字42還出現在一系列奇怪的歷史巧合中,儘管其重要性可能不值得花時間去研究。例如:

在古埃及神話中對靈魂進行審判時,死者必須在42名法官面前宣布他們沒有犯過42項罪;

馬拉松的距離是42.195公里,儘管公元前490年,當古希臘信使費迪皮迪茲第一次完成這個距離時,公里還沒有被定義;

古代西藏有42位統治者,公元前127年左右的聶赤贊普是第一位,而從公元836年到公元842年(即九世紀的42年)在位的朗達瑪是最後一位;

《古騰堡聖經》是歐洲印刷的第一本書,每頁42行,也被稱為「42行聖經」。

面對「42」的神奇,確實有人提出了一個明顯的問題:就是在亞當斯的書中使用42是否對作者有任何特殊的意義。亞當斯在一個論壇中回答了這個問題:「那是個笑話。它(答案)必須是一個數,一個普通的,較小的數,我選了這個。二進位表示,十三進位,西藏僧侶都是胡說八道。我坐在書桌前,凝視著花園,心想『42號就行了』。我把它打了出來。故事結束了。」

數學家眼中的42

「42」是個數字,最有資格談論這個數字是否神奇的,可能是數學家。那麼就讓我們從數學的角度看看這個數字有什麼特殊之處。

首先在二進位系統中,也就是以2為進位的系統中(我們日常使用的是10進位),42被寫成101010,這很容易。順便提一下,「42」的神奇也讓一些粉絲在2010年10月10日(10/10/10)舉行了一次聚會。

在亞當斯的回答中還提到了13進位表示。在13進位的表達中,我們需要十三個符號計數:0123456789 A B C。在這個進位下,6乘以9等於42。可能你會覺得這個結果很荒謬,因為我們都知道6×9=54。但這是在10進位的計算中。如果在以13為底的情況下,表示為42的數應該是(4 x13)+2=54。

有趣的稀有整數列

數字42有一系列有趣的數學特性。

這個數是2的前三次奇數冪的和,即2+2x2x2+2x2x2x2x2=42。事實上,從這個角度看,它的神奇不止於此。假設它是序列 a(n)中的一個元素,其中 a(n)=前n個2的奇次冪之和。

那麼

a(1)=2,a(2)=2+2x2,a(3)=2+2x2x2+2x2x2x2x2=42。

如果在二進位下表達,我們會發現:

a(1)=10,a(2)=1010,a(3)=101010,......,a(n)="10"重複出現n次。

該數列的通項公式為:

隨著n的增加,這組數字的密度趨向於零,這意味著出現在這個數列中的數字,包括42,非常稀有。此外,你也可以換一種玩法:42是6的前兩個非零整數冪的和,即6+6x6=42。那麼你可以考慮另一個數列:

b(1)=6,b(2)=6+6x6,b(3)=6+6x6+6x6x6,......,b(n)=前n個6的冪方和。

這些數字的密度在n無窮大時也趨向於零。

明安圖-卡塔蘭數

卡塔蘭數是組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列。以比利時的數學家歐仁·查理·卡特蘭的名字命名。但實際上,清朝數學家明安圖(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》中最先發現這種特殊的數字,遠遠早於卡塔蘭。有中國學者建議將此數命名為「明安圖數」或「明安圖-卡塔蘭數」。

這些數字極其罕見,比質數要少得多,前20個的明安圖-卡塔蘭數為:

1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790,477638700,1767263190。

你看到了,42出現在這個序列中。

瑞士數學家萊昂哈德·歐拉首先以另一個方式提到了明安圖-卡塔蘭數,而這個解釋要比純粹的數字有趣的多。歐拉想知道通過連接頂點,一個(n+1)邊凸多邊形可以有多少種不同的方式被切割成三角形,而答案由第n個明安圖-卡塔蘭數給出。

凸6邊形一共有14種歐拉的切割方式(n=5)

組合數學給出了計算明安圖-卡塔蘭數的一般公式:

就像前面的兩個數列一樣,這類數的密度在n無窮大時為零。

明安圖-卡塔蘭數作為一個組合學數列,與很多計數有關係。比如卡塔蘭本人是通過安排雙括號寫作規則發現的:假設給你n個左括弧,n個右括弧,那麼它們有多少種方式可以組成符合寫作規則的括號?答案就是第n+1個明安圖-卡塔蘭數。

例如,n=3,因為所有合乎規則的排列方式只有5種:

((()));()()();(())();(()());()(()).

實際數

「42」的另一個數學身份是它是一個「實際數」。一般一個正整數n稱為實際數,如果所有小於n的正整數都可以表示為若干個n的不同真因子的和。

比如42,它的不同因子有1,2,3,6,7,14,21。而任何一個小於42的整數都可以表達成這些數字中的一些的和。比如:11=2+3+6,41=6+14+21。

早在十二、十三世紀,義大利數學家斐波那契在其著作《計算之書》中,在說明如何用埃及分數的和表示有理數時有用到實際數。但斐波那契沒有正式的定義實際數。實際數一詞最早是由拉馬努金在1948年開始使用的,他希望可以找出有這類性質的數字。

此工作後來在1955年由斯圖瓦特和謝爾賓斯基完成。利用正整數的素因數分解可以判斷是否是實際數,所有2的冪及偶數的完全數都是實際數。

以下是實際數的列表:

1,2,4,6,8,12,16,18,20,24,28,30,32,36,40,42,48,54,....

然而迄今為止,沒有一個簡單的已知公式可以提供這個序列的第n個元素。

已發現實際數和質數有許多類似的特質,它也有對應哥德巴赫猜想及孿生質數猜想的定理:每一個偶數可以表示為二個實際數的和,以及存在無限多個相差2的實際數。梅爾菲證明了在斐波那契數列中存在無限多個實際數,而質數與之對應的問題,也就是是否存在無限多個斐波那契質數還沒有被證明,但也還找不到反例。

三個整數立方和的問題

關於42這個數字的遊戲有很多,但多年來一直認為這些組合遊戲都是很簡單的。然而最近,一個新的問題似乎不是那麼容易,這就是「三個整數立方的和」的問題。似乎「42」比100以下的其它所有數字都更麻煩。

這個問題陳述如下:

什麼整數 n可以寫成三個整數的立方的和?也就是給定n,尋找整數a、b、c,使得

作為一個實際問題,進行這種計算的困難在於,對於一個給定的 n,要考慮的三個可能的整數涉及到負整數。因此,並沒有對a、b、c這三個數有所限制。有些答案可能會大得驚人,比如在2007年發現的156的答案:

而且,對於一些整數 n並沒有此類解。事實上,一個簡單結論是,對於任何可以表示為(9m+4)或(9m+5)的所有整數n都是如此。例如4、5、13、14、22、23等等。這個證明並不複雜,需要使用模9計算,這相當於假設9=0,然後只操作0到8之間或-4到4之間的數字。我們可以看到,對9取模後,整數的立方是一定是-1、0或1。將這些數字中的任意三個數字相加,你不可能得到4或5。這個限制意味著三個整數的立方和永遠不會是(9m+4)或(9m+5)這種形式的數字。

而事實上,即便知道一個整數n滿足條件,求解a、b、c同樣困難。

比如對於n=1,有一個明顯的答案:a=b=1,c=-1。但還有其它答案嗎?有!

還有嗎?還有!1936年,德國數學家庫爾特·馬勒給出了無限多個解:對於任意整數p,

這個證明很簡單,展開合併同類項就可以了。

n=2的無窮解集也是已知的。1908年,數學家A·S·布魯索夫證明,對於任意整數p:

通過將這些方程的每一項乘以一個整數的立方,我們可以推導出:任意整數的立方以及其立方的兩倍都有無窮多個解。

然而美好的事情結束了。截至2019年8月,n=3時,已知的解只有兩個:

那隨之而來的一個問題是:對於任何 n,是否至少有一個解呢?我們的42馬上就要登場了。

計算機的尋找

為了回答這個問題,數學家們開始取一些較小的值1、2、3、6、7、8、9、10、11、12、15、16……並逐一檢查。如果對這些數字都可以找到寫成三個立方的和的辦法,那或許可以猜測,對任何整數 n(不是形如n=9m+4或n=9m+5),都可以表達成三個整數立方的和。

現在,通過使用計算機,科學家已經求解了越來越多的數字。

2009年,採用了哈佛大學的諾姆·埃爾基斯提出的方法,德國數學家安德烈亞斯·史蒂芬·埃爾森漢斯和約格·賈內爾對小於1000的正整數,嘗試了所有絕對值小於1014的解。他們的結論是:在小於1000的範圍內,只有33、42、74、114、165、390、579、627、633、732、795、906、921和975仍未解決。而對於小於100的整數,僅剩下三個:33、42和74沒有解決。

在2016年的一篇預印本論文中,荷蘭特文特大學桑德·豪斯曼解決了74:

2019年,英格蘭布里斯托大學的安德魯·布克解決了33:

從那時起,「42」就稱為最後一個小於100的不知道能否表示成三個整數立方的和的正整數。如果沒有解決辦法,那麼「42」的這個數學意義可能給它的神奇找出了一個真正令人信服的理由:它將是第一個似乎可能有解決辦法,但卻沒有找到解決辦法的數字。

然而答案出現在2020年的預印本中,這是由麻省理工學院的布克和安德魯·薩瑟蘭共同進行了巨大計算後的結果。參與這項工作聯網電腦計算時間相當於一台計算機連續工作100多萬小時,而結果顯示:

最近,數學家們還找到了165、795和906的答案。於是對於1000以下的整數,剩下的只有114、390、579、627、633、732、921和975。

針對這個研究方向,1992年牛津大學的羅傑·希思-布朗還提出了一個更強的猜想:如果一個正整數n可以表示為三個整數立方的和,那這種表達方式應該有無限多種。

這一難題似乎更加讓人望而生畏,任何算法,無論多麼聰明,都無法處理所有可能的情況。例如,在1936年,艾倫·圖靈指出,沒有一種算法能夠解決所有可能的電腦程式的停機問題。但這裡我們是在一個容易描述的,純粹的數學領域。如果我們能證明這種無限性,那將是一件了不起的事。

數字「42」是困難的,但它不是最後一步;數字「42」是神奇的,但它僅僅是浩瀚神奇的數學海洋中的一滴水!

責任編輯: 李華   來源:網易 轉載請註明作者、出處並保持完整。

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