7月24日，菲爾茲獎得主陶哲軒（Terrence Tao）在美國費城舉行的2026年國際數學家大會（ICM）上發表公眾演講，題為《人工智慧時代的數學》（Mathematics in the age of AI）。
他沒有從 AI又解決了哪一道數學難題講起，而是把時間撥回到20世紀初。
在陶哲軒看來，20世紀初，伴隨著羅素悖論、哥德爾不完備定理等一系列發現，數學家被迫重新審視集合、無窮、公理等最基礎的問題。這場被稱為「數學基礎危機」的思想震盪，一度引發激烈爭論，卻最終推動數學建立起更加嚴密、統一的現代基礎體系。
而今天，隨著 AI開始參與數學研究，數學或許再次站在一個類似的歷史節點。不同的是，這一次受到挑戰的，不再是數學理論的基礎，而是數學共同體長期默認的研究方式和價值體系：什麼才算一項真正完成的成果？數學研究的目標，是儘可能證明更多定理，還是幫助人類建立更深刻的理解？
儘管陶哲軒並沒有在演講中直接使用「工業化」來形容數學的未來，但他描繪的圖景已經呈現出鮮明的工業特徵：數學知識將從稀缺走向充裕，研究流程被拆解為生成、驗證、解釋、評審和知識整合等多個環節，人類與 AI也將在其中重新分工。當證明越來越容易獲得，真正稀缺的，應該是是提出問題、理解問題，以及組織知識的能力。
（截至發稿，演講視頻尚未上線，本文主要依據陶哲軒會後發布的52頁演講幻燈片進行整理解讀。）
真正的問題，已經不是 AI會不會做數學
在演講一開始，陶哲軒提出了一個「AI能力猜想」（AI Capability Conjecture）：未來，AI可能在可接受的成本和一定程度的人類監督下，完成部分研究級數學工作。至於它能處理哪些問題、需要多少人工參與、達到怎樣的正確率和結果質量，都可以有不同設定，因此這一猜想也有強弱之分。
如果連最弱的版本都無法實現，數學界大可以延續原有的研究方式；如果較強版本成為現實，尤其當數學共同體仍把「儘可能多地解決未解問題」放在首位，現有的文化、評價體系和研究實踐都將受到衝擊。
陶哲軒真正關心的，是這種變化會把數學帶向哪裡。他在幻燈片中明確說明，這場演講無意判斷「AI能力猜想」是否成立，而是請聽眾先接受一個工作假設（Working Hypothesis）：假設 AI很快能夠以可接受的成本和監督，承擔相當一部分研究級數學任務，數學共同體該如何應對？整場演講由此展開，重點落在能力提升之後的制度與價值問題。
至於 AI是否已經接近這一階段，陶哲軒引用了一項自己參與發起的最新評測項目 First Proof作為背景。
今年5月底，First Proof在嚴格控制的條件下測試了四套 AI數學系統。10道此前從未公開的新題全部來自真實研究過程，由相關領域專家按照學術期刊的審稿標準，對解答的正確性和論文表述進行評估。結果顯示，四套 AI系統共在10道題中成功解決了7道，每道題至少有一份解答達到學術期刊發表水平，單題計算成本約為10至1000美元。
但這項評測中也暴露出了 AI的局限。雖然它已經能夠完成研究級證明，卻仍會出現引用錯誤、解釋不足等簡單錯誤。在介紹 First Proof之前，陶哲軒還特意提醒，當前許多關於 AI數學能力的公開案例都存在報告偏差（reporting bias），算力投入、人工參與和失敗案例等關鍵變量往往沒有完整披露，因此現有材料還不足以支撐穩固判斷。
這不禁讓人聯想到在 ICM開幕前幾天，數學界還發生了一個引發熱議的事件。7月20日，Anthropic數學家 Levent Alpöge公布了一個由 Claude Fable5參與發現的雅可比猜想三維反例。隨後，研究者利用 Isabelle/HOL完成了形式化驗證，確認這一反例成立。
證明很快得到了驗證，但新的問題隨之出現：它為什麼成立？這樣的構造是如何想到的？
第二天，陶哲軒在個人博客發表長文，對這一反例進行了詳細解讀。他不止停留在驗證結果，而是一步步還原其背後的幾何構造，解釋它為什麼成立，以及它與已有理論之間的聯繫。
某種意義上，這正是他在 ICM想討論的事情。當機器越來越擅長生成和驗證證明之後，人類數學家的工作不會隨之結束，而是轉向另一件同樣重要的事情：解釋證明、組織知識，並幫助數學共同體真正理解這些成果。
而要理解這種變化，就必須先回答一個更根本的問題：數學共同體究竟希望數學研究實現什麼？
從「證明稀缺」走向「證明過剩」
在陶哲軒看來，數學研究從來不只有「解出更多題目」這一個目標。它同時承擔著許多不同的使命：解決未解問題、發展新理論、理解世界、建設共同體、培養下一代數學家、擴展共享知識，以及創造具有持久審美價值的作品。
過去，這些目標大體是正相關的。解決重要問題往往意味著發展新理論；尋找證明的過程，也會培養年輕數學家、豐富數學共同體。因此，「解出了多少問題」「誰最先證明」，在相當長時間裡都可以近似代表更複雜的學術價值。
但 AI可能即將打破這種關係。
陶哲軒借用了經濟學中的古德哈特定律（Goodhart's Law）：當一個指標成為優化目標，它就不再是一個好的指標。生成式 AI缺少現實世界的約束，AI公司又有展示模型能力的動力，因此尤其容易把「解出更多數學問題」這一指標推向極致。
圖｜古德哈特定律：優化指標，不等於實現目標。（來源：Image2）
為了說明這一點，陶哲軒在演講中圍繞「一個數學問題究竟何時才算真正解決」展開了五層遞進的討論。
在最初，數學家們的目標只是「儘可能多地解決未解問題「。但這樣的標準很容易產生大量錯誤證明，於是第二層需要加入驗證（verification）。
不過，隨著 AI和自動形式化（autoformalization）的發展，證明生成（proof generation）和證明驗證（proof verification）都在迅速加快。Rocq、HOL、Lean等證明助理已經能夠逐步檢查形式化證明。但新的問題也隨之出現：如果機器生成了一份已經通過驗證、卻沒有任何人真正理解的證明，它是否意味著這個數學問題已經真正解決？
陶哲軒給出的答案是否定的。因此，第三層進一步加入了闡釋（proof exposition）：證明不僅要正確，還需要有人解釋它為什麼成立、有什麼意義。而如果再往上一層，成果不止停留在個人，還需要獲得數學共同體的認可，其他研究者不僅確認結論正確，也能夠理解其中的方法，並將其應用到新的研究中。最後，它還需要進入標準理論、教材和數學共同體共享的知識體系，成為後來者繼續發展的基礎。
一條完整的知識鏈出現了：開放問題首先變成未經核驗的證明，再經過驗證、闡釋、同行接受和知識整合，最終才成為穩定的數學知識。
圖｜陶哲軒提出「數學問題真正解決」的五層目標（來源：陶哲軒）
AI可以大幅提高這條知識鏈前端的生產效率，卻無法自動擴建後端。等待驗證、闡釋和整理的證明會越來越多，論文不斷擠壓同行評審系統；即使最終發表，數學界也未必有足夠的人力和時間，把這些成果真正吸收、消化，並整合進成熟的理論框架。
陶哲軒把這種錯配比作一種「證明的消化不良」（proof indigestion）。數學或許將從一個證明稀缺的時代，進入一個證明過剩的時代。
這也延續了他近幾年的判斷。2023年6月，陶哲軒曾預測，把大語言模型與形式化驗證、檢索和符號計算結合之後，2026年左右，AI有望成為數學研究中值得信賴的合作者。當時，他緊接著追問的就是：期刊、引用規則和研究生培養體系，該如何適應這樣的變化。
到了2026年6月，他進一步提出了「Big Mathematics（大數學）」的概念：未來複雜的數學研究將被拆分成大量子任務，由分布式的人機協作網絡共同完成；人類更多負責提出問題、設計方向和創造性工作，AI則承擔證明生成、形式化驗證等技術性任務。
而這次 ICM演講，則把他的思考又向前推進了一步。真正的瓶頸，已經不再只是如何生產更多證明，而是如何驗證、理解、傳播並消化這些證明。數學未來需要建設的，不只是更強大的「證明工廠」，更是一套能夠支撐質量控制、同行評審、知識整理和共同體傳承的新體系。
答案正確，還遠遠不夠
如今的 AI，已經可以生成語法、拼寫和格式幾乎無可挑剔的數學文本。但在陶哲軒看來，這類文本的闡釋能力仍然參差不齊：它們往往在簡單的部分停留過久，卻在真正困難或新穎的地方一筆帶過，也很少主動說明一項結果與已有文獻之間的聯繫。
更隱蔽的問題，還來自過度潤色。人類作者曾經覺得困難的地方，往往會保留一些思考和推導的痕跡，提醒讀者放慢速度、反覆推敲。過於光滑的 AI文本，卻可能把常規步驟和關鍵突破寫得同樣輕鬆，反而掩蓋了真正值得學習和理解的思想。
陶哲軒展示了一張自己年輕時閱讀法國數學家讓·布爾甘（Jean Bourgain）1991年論文的照片。紙頁上寫滿了批註。對他而言，閱讀、停頓、補全中間步驟、重新組織思路，恰恰是理解形成的過程，並不需要被完全刪去。
（來源：陶哲軒）
隨後，他引用了美國數學家威廉·瑟斯頓（William Thurston）1994年關於數學證明的經典論述：數學並不是為了完成一項由定義、定理和證明組成的抽象生產指標，真正的衡量標準，是能否讓人們更清楚、更有效地理解和思考數學。
證明的發表也不是終點。它還需要被共同體接受、使用，並最終成為教材和標準理論的一部分。其中最緩慢、也最容易被忽視的工作，往往由編輯、審稿人、教材作者以及負責闡釋成果的數學家完成。這些工作遠不如率先給出證明那樣耀眼，卻承擔著把個人成果轉化為共同知識的職責。
基於此，陶哲軒也提出了幾項值得數學共同體重新思考的方向。
首先，披露 AI的使用應該成為學術寫作中的常態。陶哲軒就在自己的幻燈片中註明，AI被用於文字自動補全和圖表生成。
其次，評價體系或許需要降低對「第一個解出問題」和證明數量的強調，把更多認可給予闡釋、驗證和知識整合工作。陶哲軒提出，如果作者無法獨立就研究結果作出一份清楚、準確且引用完整的專家級報告，那麼這項成果就不應直接發表。
AI可以幫助期刊篩除明顯缺乏驗證或寫作質量較差的論文，卻無法替代數學共同體作出最終判斷。一個成果是否值得進入學科主線，仍然是一個緩慢、依賴專業判斷和長期共識形成的過程。
與此同時，數學家的職業分工也已經開始發生變化。2026年4月，陶哲軒在接受 Nature採訪時曾表示，數學家的「工作要求正在改變」。而本屆新晉菲爾茲獎得主雅各布齊默爾曼（Jacob Tsimerman）則宣布，他將在8月底加入 OpenAI，從事 AI安全研究，希望為多智能體系統建立更嚴格的理論保證。
幾天前藉助 Claude Fable5找到雅可比猜想反例的Levent Alpöge，正是齊默爾曼曾指導本科畢業論文的學生。如今，兩人分別進入 Anthropic和 OpenAI：一位藉助 AI探索新的數學對象，一位研究如何讓更強大的 AI更加安全可靠。
這當然不能代表所有數學家的選擇，但折射出一種正在發生的變化：未來數學家的工作，也許不再只是生產新的證明，而是設計驗證體系、解釋機器生成的結果，並參與塑造人與 AI協作的新規則。
演講之後，他讓 AI採訪了自己
演講結束後的第二天，陶哲軒又做了一個有趣的實驗。
7月25日，他在 Mastodon上透露，自己讓 AI匯集並整理過去發布的100多篇帖子、採訪和視頻，總結自己對 AI的觀點；對於已有材料沒有涉及的問題，再由 AI反過來「採訪」自己。他還特意要求 AI把問題設計得更尖銳一些。
圖｜陶哲軒公開發布由 AI主持的訪談，作為其 AI觀點總結的補充材料。（來源：陶哲軒）
在這其中，AI提出的許多問題，都與這場演講形成了呼應：與多家 AI公司合作，是否會為行業炒作提供信譽？數學能夠自動驗證，是否只是一個無法推廣到醫療、司法等領域的特殊樣本？一邊警告「證明消化不良」，一邊推動大規模數學項目，是否也在加速「證明過剩」？
陶哲軒沒有迴避這些問題。他表示，大規模項目會儘量放在長期缺乏關注的數學「長尾」問題上，避免與年輕數學家的研究方向直接競爭；至於如何判斷一份證明是否真正被「消化」，未來很可能需要期刊、教材和出版體系逐漸建立新的規範。
某種意義上，這場自我採訪，就是他所倡導的人機協作的縮影：AI閱讀資料、尋找遺漏、提出問題、生成初稿；人類負責審閱、修正，並對最終內容負責。
從2023年預測 AI將成為數學家的合作者，到2026年討論如何理解和消化機器生成的證明，陶哲軒關心的問題已經發生了變化。AI能否參與數學研究，正逐漸從預測走向現實；數學共同體如何重新組織知識、調整評價標準、建立新的協作方式，才是接下來真正需要面對的課題。
未來值得關注的，也許不只是模型還能證明多少定理，而是期刊是否會調整審稿與披露規則，大學如何重新設計數學教育，解釋、驗證和整理知識的工作能否獲得應有的價值，以及機器生成的成果最終有多少能夠進入教材、融入理論，並成為後來者繼續發展的起點。
